数学核心公式大全

全书按「算术 → 整式与分式 → 方程与不等式 → 数列 → 排列组合与概率 → 几何」六章展开，末附指数/对数函数速查。 由 41 页扫描版逐页转写为可检索文本，公式已逐条校订，原书数处排印笔误已径改。

第一章 算术模块

第一节 实数的概念及运算

一、数的分类与概念

• 实数 $(R)$
  • 有理数 $(Q)$
    • 整数 $(Z)$
      • 正整数
      • 0
      • 负整数
      • （其中：正整数与 0 合称自然数 $(N)$）
    • 分数
      • 正分数
      • 负分数
  • 无理数（无限不循环小数）

整数的奇偶分类（$n \in Z$）：

• 整数
  • 奇数：$2n \pm 1$
  • 偶数：$2n$

正整数的分类：

• 正整数
  • 1
  • 质数
  • 合数

二、质数（素数）与合数

大于 1 的正整数，如果除了 1 和自身之外，没有其他约数的数就称为质数（素数），否则就称为合数。

则：最小的质数为 2，最小的合数为 4。

【注】① 1 既不是质数也不是合数；

② 常见 30 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29.

三、奇数偶数运算性质

奇数 ± 奇数 = 偶数，奇数 ± 偶数 = 奇数，偶数 ± 偶数 = 偶数；

奇数 × 奇数 = 奇数，奇数 × 偶数 = 偶数，偶数 × 偶数 = 偶数。

【注】① 整数 $m$ 与 $m^2$ 同奇同偶；

② 整数 $x, y$，则 $x + y$ 与 $x - y$ 同奇同偶。

四、倍数与约数、公约数（最大公约数）与公倍数（最小公倍数）

如果有一个自然数 $a$ 能被自然数 $b$ 整除，则称 $a$ 为 $b$ 的倍数；称 $b$ 为 $a$ 的约数；

几个自然数公有的约数，称为这几个自然数的公约数；公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数；

几个自然数共有的倍数称为这几个自然数的公倍数；其中除 0 以外最小的一个公倍数，称为这几个数的最小公倍数。

五、正整数除法中的商数与余数

设正整数 $n$ 被正整数 $m$ 除的商数为 $s$，余数为 $r$，则可以表示为：$n = ms + r$

（$s$ 和 $r$ 为自然数，$0 \le r < m$）. 特例，$n$ 能被 $m$ 整除是指余数 $r = 0$.

常见数整除的数字特征：

• 能被 2 整除的数：个位数字为 0，2，4，6，8；
• 能被 3 整除的数：各位数字之和必能被 3 整除；
• 能被 4 整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被 4 整除；
• 能被 5 整除的数：个位数字为 0 或 5；
• 能被 6 整除的数：同时满足能被 2 和 3 整除的条件；
• 能被 8 整除的数：末三位能被 8 整除；
• 能被 9 整除的数：各位数字之和能被 9 整除；
• 能被 10 整除的数：个位数字为 0.

六、实数的运算

（1）$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$　　（2）$a^m \div a^n = a^{m-n}$　　（3）$(a^m)^n = a^{mn}$

（4）$(ab)^m = a^m b^m$　　（5）$\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}$　　（6）$a^{-m} = \frac{1}{a^m}$

（7）$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$　　（8）$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$　　（9）$a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$

第二节 比与比例

一、比与比例的概念及关系

1. 两个数 $a$ 与 $b$ 之比为 $k$，是指 $\frac{a}{b} = k$，记 $a:b = k$，称 $k$ 是 $a$ 与 $b$ 的比值。

   即 $a:b = \frac{a}{b} = k$.

2. 比例：相等的比称为比例，记作 $a:b = c:d$ 或 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

   特别的：当 $a:b = b:c$ 时，称 $b$ 为 $a$ 和 $c$ 的比例中项，即 $b^2 = ac$.

3. 正比：若 $y = kx$（$k$ 不为 0），则称 $y$ 与 $x$ 成正比，$k$ 称为比例系数；

   反比：若 $y = \frac{k}{x}$（$k$ 不为 0），则称 $y$ 与 $x$ 成反比，$k$ 称为比例系数。

4. 比值常用百分率表示：称 $a$ 是 $b$ 的百分之 $r$ 是指 $a = b \cdot r\%$；

   ① $\text{个体所占百分比} = \frac{\text{个体量}}{\text{总量}} \times 100\% \Rightarrow \text{个体量} = \text{总量} \times \text{个体所占百分比}$；

   ② $\text{变化率} = \frac{\text{变后量} - \text{变前量}}{\text{变前量}} \times 100\% \Rightarrow \text{变后量} = \text{变前量} \times (1 + \text{变化率})$；

   ③ 增长率 $p\%$ $\xrightarrow{\text{原值为} a}$ 现值为 $a(1 + p\%)$

   　　下降率 $p\%$ $\xrightarrow{\text{原值为} a}$ 现值为 $a(1 - p\%)$

   ④ 甲比乙大 $p\% \Leftrightarrow \frac{\text{甲} - \text{乙}}{\text{乙}} = p\% \Leftrightarrow \text{甲} = \text{乙} \times (1 + p\%)$；

   　　甲是乙的 $p\% \Leftrightarrow \text{甲} = \text{乙} \cdot p\%$.

二、比例的基本性质

（1）$a:b = c:d \Leftrightarrow ad = bc$（内项积等于外项积）

（2）$a:b = c:d \Leftrightarrow b:a = d:c \Leftrightarrow b:d = a:c \Leftrightarrow d:b = c:a$

三、比例的基本定理

1. 更比定理：$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}$；

2. 反比定理：$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{b}{a} = \frac{d}{c}$；

3. 合比定理：$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$；

4. 分比定理：$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$；

5. 合分比定理：$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a \pm mc}{b \pm md}$；

6. 等比定理：$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a+c+e}{b+d+f}$.

其中：利用等比定理的前提是：$a + c + e \neq 0$ 且 $b + d + f \neq 0$.

第三节 平均值

一、算术平均值

给定 $n$ 个数 $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$，称

$\bar{a} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a_i = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n}{n}$

为这 $n$ 个数的算术平均值。

二、几何平均值

如果 $n$ 个正数 $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$，称

$a_g = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_n}$

为这 $n$ 个数的几何平均值。

三、均值不等式（算术平均值不小于几何平均值）

当两个正数 $a$，$b$，则 $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$　（当且仅当 $a = b$ 时等号成立）。

【注】均值不等式运用的 3 个要素：一正、二定、三相等。

常用变形：

① $a^2 + b^2 \ge 2ab$；　　② $\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \ge ab$；

③ $x + \frac{1}{x} \ge 2\ (x > 0)$；　　④ $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\ (a \cdot b > 0)$.

四、方差、标准差

设 $n$ 个数 $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$，且他们的算术平均数为 $\bar{a}$，则

$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(a_i - \bar{a}\right)^2 = \frac{1}{n}\left[\left(a_1 - \bar{a}\right)^2 + \left(a_2 - \bar{a}\right)^2 + \cdots + \left(a_n - \bar{a}\right)^2\right],$

称为这组数据的方差，并称 $s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(a_i - \bar{a}\right)^2}$ 为这组数据的标准差。

第四节 绝对值

一、绝对值的概念

实数 $a$ 的绝对值定义为：

$|a| = \begin{cases} a, & (a \ge 0) \\ -a, & (a < 0) \end{cases}$

【注】绝对值的几何意义：表示距离。

其中：$|x| = a$ 表示与原点的距离为 $a$，则 $x = \pm a$；

$|x - b| = a$ 表示与 $b$ 点的距离为 $a$，则 $x = b \pm a$。

二、绝对值方程题型及解法

题型一：$|f(x)| = a \Rightarrow f(x) = a$ 或 $f(x) = -a$；

题型二：$\left|f(x) + |g(x)|\right| = a \Rightarrow$ 双层绝对值方程，由内而外分类讨论去绝对值求解；

题型三：$|f(x)| + |g(x)| = a \Rightarrow$ 多个绝对值方程，分区间段讨论去绝对值求解。

三、绝对值不等式题型及解法

题型一：$|f(x)| \ge a \Leftrightarrow f(x) \ge a$ 或 $f(x) \le -a$；　$|f(x)| \le a \Leftrightarrow -a \le f(x) \le a$；

题型二：$|f(x)| \ge |g(x)| \Leftrightarrow \left[f(x)\right]^2 \ge \left[g(x)\right]^2$（注意平方差公式的运用）；

题型三：$|f(x)| \le g(x) \Rightarrow \begin{cases} f(x) \ge -g(x) \\ f(x) \le g(x) \end{cases}$（求交集）

　　　　$|f(x)| \ge g(x) \Rightarrow f(x) \le -g(x)$ 或 $f(x) \ge g(x)$（求并集）

【注】此种题型若用画图求解，非常直观。

题型四：$|f(x)| + |g(x)| \ge a \Rightarrow$ 多个绝对值不等式，分区间段讨论去绝对值求解。每个分类区间段求交集，最后求所有分类解集的并集。

四、绝对值的性质

（1）对称性：$|a| = |-a|$；

（2）等价性：$\sqrt{a^2} = |a|$，$|a|^2 = a^2$；

（3）自比性：$-|a| \le a \le |a|$，进而推理可得：$\frac{|a|}{a} = \frac{a}{|a|} = \begin{cases} 1, & a > 0 \\ -1, & a < 0 \end{cases}$；

（4）非负性：$|x| \ge 0$，$|x| + x \ge 0$，$|x| - x \ge 0$，

　　　其他具有非负性的因素：平方数（或偶次乘方）；开偶次根号。

（5）同号异号性质：

　　　$|x + y| = |x| + |y| \Rightarrow xy \ge 0$；　$|x - y| = |x| + |y| \Rightarrow xy \le 0$；

　　　$|x - y| < |x + y| \Rightarrow xy > 0$；　$|x - y| > |x + y| \Rightarrow xy < 0$.

（6）三角不等式：$|a| - |b| \le |a + b| \le |a| + |b|$

　　　其中：左边等号成立条件：$ab \le 0$ 且 $|a| \ge |b|$；右边等号成立条件：$ab \ge 0$.

推论：$|a| - |b| \le |a - b| \le |a| + |b|$，此时，左边等号成立条件为 $ab \ge 0$ 且 $|a| \ge |b|$；右边等号成立条件为 $ab \le 0$.

五、两个特殊绝对值模型

1、平底锅型：$f(x) = |x - a| + |x - b|$，此种函数表达式，没有最大值，只有最小值。且在两个零点之间取得最小值 $|a - b|$。图像的表现为两头高，中间平，类似于平底锅。

2、"Z"字型：$f(x) = |x - a| - |x - b|$，此种函数表达式，既有最大值也有最小值，分别在零点的两侧取得且两个最值为 $\pm|a - b|$。图像的表现为两头平，中间斜。

【注】此种题型利用数形结合求解较为直观。

第二章 整式与分式

第一节 整式的运算

一、常用的基本公式

1. 平方差：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$；

2. 完全平方和：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；

   完全平方差：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$；

   特别的：

   $\left(x \pm \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 \pm 2 + \frac{1}{x^2}$

3. 十字分解：$x^2 + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q)$

4. 三项和的平方：$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ac)$；

5. 立方和：$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$；

   立方差：$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$；

6. 二项式定理：$(a+b)^n = a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \cdots + C_n^k a^{n-k}b^k + \cdots + b^n$，

   以上展开式共 $n+1$ 项，其中：$C_n^k$ 称为二项式系数，且第 $k+1$ 项展开式的通项为：

   $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k.$

   特别的：和的立方：$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$；

   差的立方：$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

7. $n$ 次方的差：$a^n - b^n = (a-b)\left(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \cdots + b^{n-1}\right)$.

   特别的：$x^n - 1 = (x-1)\left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right)$

第二节 整式的除法

一、整式除法的定义

设 $f(x)$ 为 $n$ 次多项式，$g(x)$ 为 $m$ 次多项式且 $m \le n$，将 $f(x)$ 被 $g(x)$ 除的结果表示为：

$f(x) = g(x)h(x) + r(x),$

其中：$h(x)$ 是 $n-m$ 次多项式，称 $h(x)$ 为 $f(x)$ 被 $g(x)$ 除的商式，

$r(x)$ 是方次低于 $m$ 次的多项式，称 $r(x)$ 为 $f(x)$ 被 $g(x)$ 除的余式。

特例，若 $f(x)$ 被 $g(x)$ 除的余式 $r(x)$ 等于 0，就称 $f(x)$ 能被 $g(x)$ 整除。

二、整除定理

1. 若 $f(x)$ 能被 $(x-a)$ 整除 $\Leftrightarrow f(x) = (x-a)\cdot g(x) \Leftrightarrow f(a) = 0$；

2. 若 $f(x)$ 能被 $(x-a)(x-b)$ 整除 $\Leftrightarrow f(x) = (x-a)(x-b)\cdot g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(a) = 0 \\ f(b) = 0 \end{cases}$.

三、带余除法定理

1. 以 $x-a$ 去除多项式 $f(x)$，其余式 $r(x)$ 必为一个常数 $r$，且余数必为 $r = f(a)$.

2. 若 $f(x)$ 被 $(x-a)(x-b)$ 存在余式，则其余式至多为一个一次式，解题时可待定其余式为 $mx + n$，可得 $\begin{cases} f(a) = ma + n \\ f(b) = mb + n \end{cases}$.

第三节 分式

一、分式的概念

用 $A, B$ 表示两个整式，$A \div B$ 就可以表示成 $\frac{A}{B}$ 的形式，如果 $B$ 中含有字母，式子 $\frac{A}{B}$ 就叫做分式，其中 $A$ 叫做分式的分子，$B$ 叫做分式的分母。

【注】注意分母 $B$ 不能为 0，且后面分式的各种变形、计算都是在分式有意义（$B \ne 0$）的前提下进行的。

二、分式的基本性质

（设以下各式中分母均不为 0）

（1）$\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}$（约分）

（2）$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{b} = \frac{a \pm c}{b}$；$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm cb}{bd}$（通分）

（3）$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

（4）$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$

（5）$\left(\frac{a}{b}\right)^k = \frac{a^k}{b^k}$

三、分式方程的增根

——使得分母为零的根。

四、分式方程无解

• 情况一：产生增根，即分母为零；
• 情况二：分式本身无解，即分子不为零。

五、特殊数学方法

待定系数法、整体思想、降幂思想、“1”的代换。

第三章 方程与不等式

第一节 方程

一、常考代数方程及其求解

1. 一元一次方程：形如 $ax + b = 0\,(a \ne 0)$；其根为 $x = -\frac{b}{a}$.

2. 二元一次方程组：形如 $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$（其中 $a_1$ 与 $b_1$，$a_2$ 与 $b_2$ 分别不同时为零），

   ① 如果 $\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}$，则该方程组有唯一解；

   ② 如果 $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$，则该方程组有无数组解；

   ③ 如果 $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$，则该方程组无解。

   【注】二元一次方程组可看作为两条直线的位置关系求解，上述三种情况分别对应两条直线的相交、重合、平行。

3. 一元二次方程：$ax^2 + bx + c = 0$（$a \ne 0$）.

（1）根判别式：$\Delta = b^2 - 4ac$.

方程的解依 $\Delta$ 值的正负号不同分为如下三种情况：

① 当 $\Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实根，求根公式为：$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$；

② 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实根 $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$；

③ 当 $\Delta < 0$ 时，此时方程没有实根。

【注】一元二次方程根的求解方法：先考虑十字分解，再考虑求根公式。

（2）根与系数关系——韦达定理

① 设 $x_1$，$x_2$ 是方程 $ax^2 + bx + c = 0\,(a \ne 0)$ 的两个根 $\Leftrightarrow \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \end{cases}$.

② 韦达定理的对称轮换式变形：

（1）$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$

（2）$|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2}$（方程两根之差的绝对值）

（3）$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$

（4）$x_1^2 - x_2^2 = (x_1 + x_2)(x_1 - x_2)$

（5）$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{(x_1 x_2)^2}$

（6）$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)\left(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2\right) = (x_1 + x_2)\left[(x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2\right]$

（7）$x_1^3 - x_2^3 = (x_1 - x_2)\left(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2\right) = (x_1 - x_2)\left[(x_1 + x_2)^2 - x_1 x_2\right]$

【结论】若方程 $ax^2 + bx + c = 0\,(a \ne 0)$ 的两个根分别为 $x_1$，$x_2$，则

① 方程 $ax^2 - bx + c = 0$ 的两个根分别为 $-x_1$，$-x_2$；

② 方程 $cx^2 + bx + a = 0$ 的两个根分别为 $\frac{1}{x_1}$，$\frac{1}{x_2}$；

③ 则方程 $cx^2 - bx + a = 0$ 的两个根分别为 $-\frac{1}{x_1}$，$-\frac{1}{x_2}$.

第二节 函数

一、常考函数及其图像性质

1. 一次函数：$y = kx + b$

其图像为一条直线，其中 $k$ 为其斜率。

$k > 0$ 时，在定义域内为单调递增函数，图像必过第一、三象限；

$k < 0$ 时，在定义域内为单调递减函数，图像必过第二、四象限。

1. 反比例函数：$y = \frac{k}{x}$

$k > 0$ 时，在定义域内为单调递减函数，图像过第一、三象限；

$k < 0$ 时，在定义域内为单调递增函数，图像过第二、四象限。

1. 一元二次函数：$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \ne 0$）.

一元二次函数图像的三要素：

① 图像开口方向：

由二次项系数 $a$ 的正负号决定：$a > 0$ 时，图像开口向上；$a < 0$ 时，图像开口向下；

② 图像的对称轴：$x_{\text{对称轴}} = -\frac{b}{2a}$，且函数在对称轴位置取得最值 $\frac{4ac - b^2}{4a}$，

函数的顶点式为：$y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$；

函数的顶点坐标为：$\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$，

若 $a > 0$，函数有最小值 $\frac{4ac - b^2}{4a}$；若 $a < 0$，函数有最大值 $\frac{4ac - b^2}{4a}$.

③ 函数图像的纵截距：即函数图像与 $y$ 轴交于 $(0, c)$ 点。

④ 常见表达式：$a + b + c = f(1)$；$a - b + c = f(-1)$；$4a + 2b + c = f(2)$.

第三节 不等式

一、不等式的基本性质

1. 反身性：$a > b \Leftrightarrow b < a$；

2. 传递性：$a > b, b > c \Rightarrow a > c$；

3. 倒数性：$a > b, ab > 0 \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$；

4. 可加性：$a > b \Rightarrow a + c > b + c$；$a > b, c > d \Rightarrow a + c > b + d$；

   $a > b, c < d\,(-c > -d) \Rightarrow a - c > b - d$；

5. 可乘性：$a > b, c > 0 \Rightarrow ac > bc$（不等号两边同乘以正数，不等号方向不变）；

   $a > b, c < 0 \Rightarrow ac < bc$（不等号两边同乘以负数，不等号方向改变）；

   $a > b > 0, c > d > 0 \Rightarrow ac > bd$（正数同向可相乘，不等号方向不变）；

   $a > b > 0, c > d > 0 \left(\frac{1}{d} > \frac{1}{c} > 0\right) \Rightarrow a \cdot \frac{1}{d} > b \cdot \frac{1}{c}$；

6. 乘方、开方性质：$a > b > 0\,(n \in N) \Leftrightarrow a^n > b^n, \sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b} > 0$.

二、一元一次不等式

$kx > b \xrightarrow{k>0} x > \frac{b}{k}$；$kx > b \xrightarrow{k<0} x < \frac{b}{k}$.

三、一元二次不等式

一般形式为 $ax^2 + bx + c > 0$（$a > 0$），其具体解集情况见下表。

【注】解题时注意结合抛物线图像的分析。

【题型】一元二次不等式恒成立

【解法】$ax^2 + bx + c > 0$ 恒成立 $\Rightarrow \begin{cases} a > 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}$；　$ax^2 + bx + c < 0$ 恒成立 $\Rightarrow \begin{cases} a < 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}$.

四、一元高次不等式

形如 $(x-a)(x-b)(x-c)\cdots > 0$，

穿线法：确保 $x$ 前系数均为正数时，在数轴上依次标注各式子的零点，从右上方画线，依次穿过每个零点，解集大于取上部分图像，小于取下部分图像。

总结为"自上而下，从右到左，奇次根一穿而过，偶次根一穿不过"。

五、分式不等式类型

$\frac{f(x)}{g(x)} > 0 \Leftrightarrow f(x) \cdot g(x) > 0; \quad \frac{f(x)}{g(x)} < 0 \Leftrightarrow f(x) \cdot g(x) < 0.$

【注】① 若不等号为"$\leq$"或"$\geq$"，等号只能由分子取 0 达到，且必须排除使分母为 0 的点；

② 不等号右边不为零时，移项通分，再求解。

六、根式不等式类型

题型一： $\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)} \Rightarrow \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x) > g(x) \end{cases};$

题型二： $\sqrt{f(x)} \leq g(x) \Rightarrow \begin{cases} g(x) \geq 0 \\ f(x) \geq 0 \\ f(x) \leq [g(x)]^2 \end{cases};$

题型三： $\sqrt{f(x)} \geq g(x) \Rightarrow \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ f(x) \geq [g(x)]^2 \end{cases} \text{ 或 } \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) \leq 0 \end{cases}.$

第四章 数列

一、数列的基本概念

1. 定义：依一定顺序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫这个数列的项。

数列的一般表达形式为 $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, a_{n+1}, \cdots$　或简记为 $\{a_n\}$.

其中：$a_n$ 叫做数列 $\{a_n\}$ 的通项，下标 $n$ 为自然数叫做数列的项数。

如果通项 $a_n$ 与项数 $n$ 之间的函数关系，可以用一个关于 $n$ 的关系式 $f(n)$ 表示，则称 $a_n = f(n)$ 为数列 $\{a_n\}$ 的通项公式。

1. 数列的前 $n$ 项和 $S_n$

即：$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，显然有：

$a_n = \begin{cases} a_1 & n = 1 \\ S_n - S_{n-1} & n \geq 2 \end{cases}$

二、等差、等比数列性质对比记忆

【补充性质】

1. 若 $a, b, c$ 既成等差又成等比数列，则 $a = b = c \neq 0$；
2. 若数列 $\{a_n\}$ 为等差数列（公差 $d$），则数列 $\{a^{a_n}\}$ 成等比数列，首项为 $a^{a_1}$，公比为 $a^d$；
3. 若数列 $\{a_n\}$ 为各项为正的等比数列（公比 $q$），则数列 $\{\log_a a_n\}$ 成等差数列，首项为 $\log_a a_1$，公差为 $\log_a q$.

第五章 排列组合与概率初步

第一节 排列与组合

一、基本原理

1. 加法原理（分类计数原理）

如果完成一件事有 $n$ 类办法，只要选择其中的任何一种方法，就可以完成这件事。若在第一类办法中有 $m_1$ 种不同的方法，第二类办法中有 $m_2$ 种不同的方法，…，在第 $n$ 类办法中有 $m_n$ 种不同的方法，那么完成这件事共有 $N = m_1 + m_2 + \cdots + m_n$ 种不同的方法。

1. 乘法原理（分步计数原理）

如果完成一件事，需要依次连续地分为 $n$ 个步骤，若完成第一个步骤有 $m_1$ 种不同的方法，完成第二个步骤有 $m_2$ 种不同的方法，…，完成第 $n$ 步有 $m_n$ 种不同的方法，那么完成这件事共有 $N = m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_n$ 种不同的方法。

二、排列与排列数公式

1. 排列（无重复排列）的定义

若从 $n$ 个不同的元素中，任取 $m$（$m \leq n$）个元素，按照一定的顺序排成的一列，叫做从 $n$ 个不同元素中任取 $m$ 个元素的一个排列。

1. 排列数

若从 $n$ 个不同的元素中取出 $m$ 个元素（$m \leq n$）的所有排列的种数，称为从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个不同元素的排列数，记作 $P_n^m$。当 $m = n$ 时，称作 $n$ 个元素的全排列，也叫 $n$ 的阶乘，即 $P_n^n$，通常用符号 $n!$ 表示。

1. 排列数公式

$P_n^m = \frac{n!}{(n-m)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)$

1. 全排列数

$P_n^n = n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$

1. 允许重复的排列

设每次从 $n$ 个不同的元素中任取 1 个，取后放回，共取 $m$ 次，则这 $m$ 个取出的元素排成一行的不同排法有 $n^m$ 种。

三、组合与组合数公式

1. 组合的定义

从 $n$ 个不同的元素中，任意取出 $m$（$m \leq n$）个元素并成的一组，叫做从 $n$ 个不同的元素中任取 $m$ 个元素的一个组合。

1. 组合数

从 $n$ 个不同的元素中，取出 $m$（$m \leq n$）个元素的所有组合的总数，称为从 $n$ 个不同元素中，取出 $m$ 个元素的组合数，记作 $C_n^m$。

1. 组合数公式

$C_n^m = \frac{P_n^m}{m!} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

【注】① 两个规定：$C_n^0 = 1$，$C_n^n = 1$

② 组合数常用性质：$C_n^m = C_n^{n-m}$，$C_n^m + C_n^{m-1} = C_{n+1}^m$.

四、常见题型解法汇总

1、两个原理题型：

组建数问题、区域特色问题、路径问题——对特征做好合理的分类、分步求解；

2、排列题型：

① 特殊元素、特殊位置题型——优先照顾；

② 相邻题型——捆绑法：先将相邻的元素"捆绑"起来视作一个整体元素，然后再考虑其与其他元素的排列。

③ 不相邻题型——插空法：先将其他元素排列好，然后结合题意，再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端的空隙中插入。

④ 人住房题型——幂次式，结果为"房"的"人"次方。

3、组合题型：

① 至多至少题型——反面处理或分类讨论；

② 容斥型题型——反面处理或分部分讨论；

③ 分组分配题型——先分组后分配；尤其注意当元素被均分时，务必除以均分组数的阶乘。

④ 名额分配型——隔板法：将 $n$ 个相同元素，分给 $m$ 个个体，若每个个体均不空，则有 $C_{n-1}^{m-1}$ 种分法；若允许个体为空，则有 $C_{n+m-1}^{m-1}$ 种分法。

⑤ 换座位题型——座位轮换和对调两种情况讨论，记忆法。

⑥ 取鞋配对题型——注意不同双鞋子的来源即可；

⑦ 其他题型——正难则反、几何特征枚举、枚举找规律。

第二节 概率初步

一、概率事件基本概念及关系

1. 必然事件、不可能事件与随机事件

必然事件：每次试验必发生的事件，记为：$\Omega$。

不可能事件：每次试验中都不可能发生的事情，记为：$\varnothing$。

随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的事件，常用 $A$，$B$，$C$，$\cdots$ 表示。

2. 事件的图形表示：利用集合中的 Venn 图来表示

① 将必然事件 $\Omega$ 画为一个矩形。

② 将一般的随机事件 $A$ 画为矩形 $\Omega$ 内的一块平面区域，当随机点落入区域 $A$ 时表示事件 $A$ 发生，当随机点并未落入区域 $A$ 时表示事件 $A$ 不发生。

③ 将不可能事件 $\varnothing$ 画为空区域，随机点不会落入空区域。

④ 事件的包含：若事件 $A$ 的发生必然导致事件 $B$ 发生，则称事件 $B$ 包含事件 $A$，记为 $A \subset B$ 或 $B \supset A$。

3. 随机事件的运算及图形表示

【事件的运算】设 $A$ 与 $B$ 是两个随机事件

① 事件的并：$A+B$ 或记 $A \cup B$.

$A+B=\{A \text{ 与 } B \text{ 中至少有一个发生}\},$

用 Venn 图表示为：$A$ 图形与 $B$ 图形的并，所以 $A$ 加 $B$ 又称 $A$ 与 $B$ 的并。

② 事件的减法：$A-B$：

定义为 $A-B=\{A \text{ 发生但 } B \text{ 不发生}\}$，

用 Venn 图表示为：在 $A$ 图形中挖去它与 $B$ 图形的公共部分。

③ 事件的交：$AB$ 或 $A \cap B$

定义为 $AB=\{A \text{ 发生 } B \text{ 也发生}\}$

用 Venn 图表示为：$A$ 图形与 $B$ 图形的相交部分，所以 $AB$ 也称 $A$ 与 $B$ 的交。

④ 事件 $A$ 的逆事件或对立事件 $\overline{A}$ 定义为

$\overline{A}=\{A \text{ 不发生}\}$，用 Venn 图表示为：在 $\Omega$ 的矩形中挖去 $A$ 图形。

4. 事件间的相互关系：

设 $A,B$ 为两个随机事件

① 若事件 $A$ 与事件 $B$ 不能同时发生，即 $AB=\varnothing$，则称事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥或互不相容。从 Venn 图上看，图形 $A$ 与图形 $B$ 分离。

② 若事件 $A$ 与事件 $B$ 满足 $A+B=\Omega$，则称事件 $A$ 与事件 $B$ 互补。从 Venn 图上看，图形 $A$ 与图形 $B$ 的并为必然事件 $\Omega$。

③ 若事件 $A$ 与事件 $B$ 既互斥又互补，就称事件 $A$ 与 $B$ 互逆（对立），即 $A$ 不发生时必发生 $B$，$B$ 不发生时 $A$ 必发生。

$A,B \text{ 互逆} \Leftrightarrow B=\overline{A} \Leftrightarrow A=\overline{B}.$

二、概率的计算

1. 常用的概率运算性质

加法公式：

设 $A$ 与 $B$ 是两个随机事件，则 $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$。

特别，当 $A$ 与 $B$ 互不相容即互斥时，成立

$P(A+B)=P(A)+P(B), \quad \text{即 } P(A \cup B)=P(A)+P(B).$

逆事件概率公式：

记 $A$ 的逆事件即对立事件为 $\overline{A}$，则 $P(A)=1-P(\overline{A})$。

特别，因为由德摩根定律：$\overline{A+B}=\overline{A}\,\overline{B}$，$\overline{AB}=\overline{A}+\overline{B}$，所以有

$P(A+B)=1-P(\overline{A}\,\overline{B}), \quad P(AB)=1-P(\overline{A}+\overline{B}).$

2. 三种常见事件的概率计算

① 等可能事件的概率（古典概率）

【定义】事件满足两个特征：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

（2）各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同；

我们称具有这两个特征的概率称为古典概率模型，简称古典概型。

例如：掷两枚均匀硬币，求出现两个正面的概率。

取样本空间：{甲正乙正，甲正乙反，甲反乙正，甲反乙反}

这里四个基本事件是等可能发生的，故属古典概型，且所有基本事件个数为 $n=4$，出现两个正面的次数为 $m=1$，则该事件发生的概率为 $p=\frac{1}{4}$.

对于古典概型中任一事件 A 的概率 P(A) 定义为：

$P(A)=\frac{m}{n}=\frac{A \text{ 包含的基本事件个数}}{\text{基本事件的总数}}.$

古典概率题型及解法

摸球模型——分母为"人住房"模型

类型一：将不同的球放入不同的盒子，则分子为分组分配模型；

类型二：将相同的球放入不同的盒子，则分子为名额分配模型；

类型三：有放回的摸球，则总数每次都一样；

类型四、无放回的摸球，即抽奖、开密码锁模型——中奖机会均等。

骰子道具与几何特征模型——特征枚举法

立方体多面涂色模型——大立方体表面涂色后切割成 $n^3$ 个小立方体（每条棱切成 $n$ 段）：

三面涂色——顶点处产生，共 $8$ 个；

二面涂色——棱上非顶点处，共 $12(n-2)$ 个；

一面涂色——每个面的中间部分，共 $6(n-2)^2$ 个；

没有涂色——剥去一层皮后的内核，共 $(n-2)^3$ 个。

② 相互独立事件的概率：

【定义】事件 $A$ 是否发生对事件 $B$ 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

数学中：随机事件 $A$ 和 $B$ 满足概率关系 $P(AB)=P(A)P(B)$，就称事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立。

【性质】若 $A$ 与 $B$ 是相互独立事件，则 $A$ 与 $\overline{B}$，$\overline{A}$ 与 $B$，$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也相互独立。

【注】互斥事件与相互独立事件是有区别的：

两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生。

相互独立事件题型及解法

多个体游戏、猜谜题型——注意"至少"、"至多"提问的反面或分类；

串并联电路题型——串联"正面正常"考虑；并联"反面不正常"考虑；

闯关游戏题型——分情况分类讨论

③ N 次独立重复试验的二项概率公式：

一般的，在相同条件下重复做的 $N$ 次试验称为 $N$ 次独立重复试验。

【特点】

（1）独立重复试验，是在相同条件下各次之间相互独立地进行的一种试验；

（2）每次试验只有"成功"或"失败"两种可能结果。

每次试验"成功"的概率都 $p$，"失败"的概率为 $1-p$。

例如，在 3 次独立实验中，实验成功的概率为 $p$，求 3 次实验中恰好成功 2 次的概率。

解：

$P(3 \text{ 次实验中恰好成功 } 2 \text{ 次})=P\left(\overline{A}AA\right)+P\left(A\overline{A}A\right)+P\left(AA\overline{A}\right)$

$=P\left(\overline{A}\right)P(A)P(A)+P(A)P\left(\overline{A}\right)P(A)+P(A)P(A)P\left(\overline{A}\right)$

$=3p^2(1-p)$

【二项概率公式】在成功率为 $p$（$0<p<1$）的 $n$ 次独立重复试验中恰好成功 $m$ 次的概率为

$P_n(m)=C_n^m p^m (1-p)^{n-m} \quad (m=0,1,2,\cdots,n).$

注：对照引出例，公式中

$C_n^m$ ——对应于：$n$ 次中的 $m$ 次成功有多少种可能性；

$p^m(1-p)^{n-m}$ ——对应于：某 $m$ 次成功而其余 $n-m$ 次失败的概率。

特别的：$n$ 次全成功的概率为：$P(n \text{ 次全成功})=p^n$；

$n$ 次全失败的概率为：$P(n \text{ 次全失败})=(1-p)^n$.

N 次独立重复题型及解法

几局几胜制比赛——最后一场单独胜，前面场次按 N 次独立重复计算

"至少"题型——反面的"全失败"或"全成功"考虑

打靶、导弹命中率——提炼"至少"

第六章 几何

第一节 平面几何

一、线与角

【角的平分线性质】角平分线上的一点，到角两边的距离相等。

【线段的垂直平分线】线段垂直平分线上的一点到线段两端点的距离相等。

【平行线中角的定义】对顶角、同位角、内错角与同旁内角

如图所示，一直线与两条平行直线相交所形成的角中：

1. $\angle 1$ 与 $\angle 2$ 互为对顶角，且 $\angle 1=\angle 2$（对顶角相等）
2. $\angle 1$ 与 $\angle 4$ 互为同位角，且 $\angle 1=\angle 4$（两直线平行同位角相等）
3. $\angle 2$ 与 $\angle 4$ 互为内错角，且 $\angle 2=\angle 4$（两直线平行内错角相等）
4. $\angle 3$ 与 $\angle 4$ 互为同旁内角，且 $\angle 3+\angle 4=180^\circ$（两直线平行同旁内角互补）

【平行线比例性质】直线被一组平行线截得的线段成比例

二、三角形

【性质】

如右图，任意三角形 $ABC$ 中，

1. 三角形内角和等于 $180^\circ$，即：$\angle 1+\angle 2+\angle 3=180^\circ$。

2. 三角形一个外角等于不相邻两内角之和，如 $\angle 4 = \angle 2 + \angle 3$。

3. 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，即 $a + b > c$；任意两边之差小于第三边，即 $a - b < c$。

4. 三角形中位线：三角形两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边边长的一半。

5. 三角形面积公式：

$S = \frac{1}{2}ah = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

其中：$h$ 是 $a$ 边上的高，$p = \frac{1}{2}(a+b+c)$ 为三角形的半周长。

1. 三角形四心：

   • 内心：三条内角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）
   • 外心：三条边的垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）
   • 重心：三条中线的交点
   • 垂心：三条高线的交点

【三角形分类】

1. 直角三角形：有一个内角为直角的三角形。

【勾股定理】 在直角三角形 $ABC$ 中，角 $\angle C$ 为直角，则有 $c^2 = a^2 + b^2$。

常见的勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、12、15 等。

【勾股定理推论】设三角形三边 $a, b, c$ 中最大的为 $c$，则

直角三角形 $\Leftrightarrow c^2 = a^2 + b^2$；

锐角三角形 $\Leftrightarrow c^2 < a^2 + b^2$；

钝角三角形 $\Leftrightarrow c^2 > a^2 + b^2$。

三种情况下，最大边 $c$ 对应的三角形的最大内角分别为直角、锐角和钝角。

【射影定理】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，直角三角形 $ABC$ 中，角 $\angle C$ 为直角，斜边 $AB$ 上的高 $CD$ 分斜边为 $AD$ 和 $BD$。则有：

$CD^2 = AD \times BD; \quad AC^2 = AD \times AB; \quad BC^2 = BD \times BA.$

1. 等腰直角三角形：

两直角边长度相等的直角三角形（有一内角为 $45^\circ$ 或 $\frac{\pi}{4}$ 的直角三角形）

（1）边长比关系：$1:1:\sqrt{2}$。

（2）面积公式：$S = \frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{4}c^2$，其中 $a$ 为直角边，$c$ 为斜边。

1. 角为 $30^\circ$ 的直角三角形：

其中 $30^\circ$ 角所对的直角边边长为斜边边长的一半。则三边边长比关系为：$1:\sqrt{3}:2$.

1. 等腰三角形：

有两个边的长度相等的三角形（或有两个内角相等的三角形）。底边四线合一。

1. 等边三角形（正三角形）：

三角形三个边长度都相等的三角形。面积公式：$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，其中 $a$ 为边长。

【两三角形全等、相似】

1. 两个三角形全等：$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$，其含义为两三角形的大小与形状完全一致。

【性质】（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等。

（2）判定两三角形全等的充分条件：

• ① 两三角形有 2 条边及其夹角对应相等；
• ② 两三角形有两角及其夹边对应相等；
• ③ 两三角形的三条边对应相等。

1. 两三角形相似：$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$，其含义是两三角形的图形是放大、缩小关系。

【性质】（1）以下都是相似三角形的性质

• ① 两相似三角形对应边长成比例（称为相似比），对应角相等。
• ② 两相似三角形的对应线段的比等于相似比
• ③ 两相似三角形的周长比等于相似比
• ④ 两相似三角形的面积比等于相似比的平方

（2）以下都是两三角形相似的充分条件

• ① 两三角形有一个内角对应相等，其两夹边对应成比例；
• ② 两三角形有 2 组内角对应相等；
• ③ 两三角形的 3 条边对应成比例。

三、四边形

1. 平行四边形：两对对边分别平行的四边形称为平行四边形。

【性质】

（1）平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分。

（2）一对对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（3）平行四边形的面积为底乘高：$S_{ABCD} = ah$

特例：四边相等的四边形一定是四边相等的平行四边形，即为菱形。

且菱形的对角线互相垂直、对角线平分顶角。

1. 内角都是直角的四边形称为矩形（长方形）。

【性质】

（1）两对角线相等且互相平分，即

$AC = BD = 2AE = 2EC = 2BE = 2DE$

（2）矩形的面积等于长乘宽，即 $S_{ABCD} = CD \cdot BC = ab$.

（3）四边相等的矩形称正方形，

则对角线相互垂直还平分顶角，$S_{ABCD} = a^2$.

1. 只有一对对边平行的四边形称为梯形，平行的两边称为梯形的上底与下底，梯形两腰中点的连线 $MN$ 称为梯形的中位线。

【性质】

（1）梯形的中位线：$MN = \frac{1}{2}(a+b)$

（2）梯形的面积等于中位线与高的乘积，即

$S_{ABCD} = \frac{1}{2}(a+b)h$

【等腰梯形】两腰长度相等（或两底角相等）的梯形。

【性质】

（1）等腰梯形的两条腰相等；

（2）等腰梯形在同一底上的两个底角相等；

（3）等腰梯形的两条对角线相等；

（4）等腰梯形中，若两对角线相互垂直，则该梯形的高与中位线长度相等。

【直角梯形】有一个角是直角的梯形。

四、圆

【定义】与定点 $A$ 距离等于 $r$ 的平面上动点的轨迹称为以 $A$ 为圆心、半径为 $r$ 的圆。

【性质】如图在圆 $O$ 中，半径为 $r$，线段 $AB_1, AB_2$ 是过圆外点 $A$ 的两条切线，则

（1）半径为 $r$ 的圆，面积等于 $\pi r^2$，圆周长等于 $2\pi r$；

（2）直径所对的圆周角是直角；

（3）弧所对应的圆周角是其所对应的圆心角的一半；

（4）等弧对等角（圆周角、圆心角）；

（5）圆的切线在切点处与半径垂直；

（6）从圆外一点所作圆的两根切线相等。即：$AB_1 = AB_2$.

五、扇形

扇形的弧长：$l = \alpha \cdot r = \frac{\theta^\circ}{360^\circ} \times 2\pi r$

扇形的面积公式：$S = \frac{1}{2}lr = \frac{\theta^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2$

【注】$\alpha$ 为扇形圆心角的弧度数，$\theta$ 为圆心角的角度数。

弓形面积：$S_{\text{弓形}ACB} = S_{\text{扇}} - S_{\triangle AOB}$.

第二节 解析几何

一、平面直角坐标系基本概念

1. 平面直角坐标系、象限及平面内点的坐标：

表示为：$P(x, y)$，其中：

$x$ 为点的横坐标，$y$ 为点的纵坐标。

象限中的点坐标关系如右图所示。

1. 两点间距离公式：

两点 $A(x_A, y_A)$ 及 $B(x_B, y_B)$ 间的距离 $d$ 为

$d = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}.$

特别地：点 $P(x, y)$ 与坐标原点 $O(0,0)$ 的距离 $d$ 为 $d = \sqrt{x^2 + y^2}$.

1. 中点公式：

设 $A(x_A, y_A)$，$B(x_B, y_B)$，则线段 $AB$ 的中点 $C(x_C, y_C)$ 的坐标为：$x_C = \frac{1}{2}(x_A + x_B)$，$y_C = \frac{1}{2}(y_A + y_B)$.

1. 定比分点：

【分线段的比】

若点 $P$ 是线段 $AB$ 或其延长线的一点，则称 $\lambda = \frac{\overrightarrow{AP}}{\overrightarrow{PB}}$ 为点 P 分线段 AB 的定比。

其中：$\overrightarrow{AP}$ 与 $\overrightarrow{PB}$ 为有向线段，当 $\overrightarrow{AP}$ 与 $\overrightarrow{PB}$ 的方向一致时，$\lambda > 0$，反之 $\lambda < 0$；

$\lambda$ 的数值为线段 $AP$ 的长度 $\left|\overrightarrow{AP}\right|$ 与线段 $PB$ 的长度 $\left|\overrightarrow{PB}\right|$ 的比值。

【定比分点坐标公式】

设两点 $A(x_A, y_A)$，$B(x_B, y_B)$，点 $P$ 是线段 $AB$ 或其延长线的一点，并且分 $AB$ 的定比为 $\lambda$，（$\overrightarrow{AP} = \lambda\overrightarrow{PB}$，且 $\lambda \neq -1$）

则点 $P$ 的坐标为：

$\left( \frac{x_A + \lambda x_B}{1 + \lambda}, \frac{y_A + \lambda y_B}{1 + \lambda} \right).$

二、平面直线

1. 直线的倾斜角与斜率：

直线的倾斜角：直线与 $x$ 轴正方向的夹角，记为 $\alpha$，且 $0^\circ \le \alpha < 180^\circ$。

直线的斜率：反映直线的倾斜程度，记为：$k = \tan\alpha$，（$\alpha \neq 90^\circ$）。

常见直线倾斜角所对应的直线斜率值：

1. 斜率计算公式：经过点 $A(x_A, y_A)$ 和 $B(x_B, y_B)$ 的直线 $L$ 的斜率为

$k = \tan\alpha = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}.$

1. 直线方程的常见形式：

2. 水平直线与竖直直线：

过点 $(x_0, y_0)$ 的水平直线为 $y = y_0$；竖直直线为 $x = x_0$。

1. 直线的点斜式：$y - y_0 = k(x - x_0)$

表示：斜率为 $k$ 且过点 $(x_0, y_0)$ 的一条直线。

1. 直线的斜截式：$y = kx + b$

表示：斜率为 $k$ 且与 $y$ 轴相交于点 $(0, b)$ 的直线，

其中称 $b$ 为直线的纵截距。

1. 直线的两点式：$\frac{y - y_A}{y_B - y_A} = \frac{x - x_A}{x_B - x_A}$

求过点 $A(x_A, y_A)$ 与 $B(x_B, y_B)$ 的直线方程

因为直线 $AB$ 的斜率为 $k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$，

把直线 $AB$ 看做经过点 $A(x_A, y_A)$ 且斜率为 $k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ 的直线，按直线的点斜式，则方程为

$y - y_A = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}(x - x_A),$

常把这一方程写成关于 $A$ 和 $B$ 的对称形式：

$\frac{y - y_A}{y_B - y_A} = \frac{x - x_A}{x_B - x_A},$

此时为直线的两点式。

1. 直线的截距式：$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

表示：直线与 $x$ 轴及 $y$ 轴都相交且直线与 $x$ 轴交于点 $(a, 0)$，与 $y$ 轴交于点 $(0, b)$，称 $a$ 为直线的横截距，$b$ 为直线的纵截距。

1. 直线的一般方程：$Ax + By + C = 0$（$A$ 与 $B$ 不全为 0）

   若 $A = 0$，方程则为水平直线 $y = -\frac{C}{B}$；

   若 $B = 0$，方程则为竖直直线 $x = -\frac{C}{A}$；

   若 $C = 0$，直线经过原点 $(0, 0)$；

   若 $B \neq 0$，则方程可改写为 $y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$，此时：

   直线的斜率为 $k = -\frac{A}{B}$，纵截距为 $y = -\frac{C}{B}$，横截距为：$x = -\frac{C}{A}$.

2. 两直线的夹角公式：

设直线 $L_1$ 和直线 $L_2$ 的斜率分别为 $k_1$ 和 $k_2$，记 $\theta$ 是两直线夹出的锐角，则

$\tan\theta = \left|\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2}\right|.$

【性质】两直线 $L_1$ 与 $L_2$ 平行（含重合）的充要条件是 $k_1 = k_2$；

两直线 $L_1$ 与 $L_2$ 互相垂直的充要条件是 $k_1 k_2 = -1$.

【推论】对于两直线 $L_1$：$A_1 x + B_1 y + C_1 = 0$ 和 $L_2$：$A_2 x + B_2 y + C_2 = 0$，

若 $L_1 \parallel L_2 \Leftrightarrow A_1 B_2 - A_2 B_1 = 0$；若 $L_1 \perp L_2 \Leftrightarrow A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0$.

1. 点到直线的距离公式：

设点 $(x_0, y_0)$ 是直线 $Ax + By + C = 0$ 外的一个点，则它到直线的距离 $d$ 的计算公式为

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}};$

如果 $L$ 取 $y = kx + b$ 形式，则 $d = \frac{|y_0 - kx_0 - b|}{\sqrt{1 + k^2}}$.

【推论】两平行直线 $Ax + By + C_1 = 0$ 与 $Ax + By + C_2 = 0$ 间距离为 $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$；

两平行直线 $y = kx + b_1$ 与 $y = kx + b_2$ 间距离为 $d = \frac{|b_1 - b_2|}{\sqrt{1 + k^2}}$.

三、圆的方程

1. 圆的标准方程

以 $O(a, b)$ 为圆心，$r$ 为半径的圆的方程为 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.

形如 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 的方程，称为圆的一般方程。

（以上 $D, E, F$ 必须使方程能化为圆的标准方程，

即：$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$，当且仅当：$\frac{D^2 + E^2 - 4F}{4} > 0$）.

1. 直线与圆的位置

方法：通过圆心到直线的距离 $d$ 与圆半径 $r$ 的关系判断

（1）相交 $\Leftrightarrow d < r$；（2）相切 $\Leftrightarrow d = r$；（3）相离 $\Leftrightarrow d > r$.

【弦长公式】直线截圆所得弦长 $|AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2}$

1. 圆与圆的位置

方法：通过两圆心的距离 $d$ 与两圆半径间的关系判断

（1）包含 $\Leftrightarrow 0 < d < R - r$；

（2）内切 $\Leftrightarrow d = R - r$；

（3）相交 $\Leftrightarrow R - r < d < R + r$；

（4）外切 $\Leftrightarrow d = R + r$；

（5）相离 $\Leftrightarrow d > R + r$.

四、常用的对称关系

设点坐标为 $(x, y)$

① 关于 $X$ 轴对称的对称点的坐标为 $(x, -y)$

② 关于 $Y$ 轴对称的对称点的坐标为 $(-x, y)$

③ 关于原点对称的对称点的坐标为 $(-x, -y)$

④ 关于点 $(a, b)$ 对称的对称点坐标为 $(2a - x, 2b - y)$

⑤ 关于直线 $y = x$ 对称的对称点坐标为 $(y, x)$

⑥ 关于直线 $y = -x$ 对称的对称点坐标为 $(-y, -x)$

⑦ 关于直线 $y = x + m$ 对称的对称点坐标为 $(y - m, x + m)$

⑧ 关于直线 $y = -x + m$ 对称的对称点坐标为 $(m - y, m - x)$

第三节 常见空间几何体

【长方体】体积 $V = abc$，

全面积 $F = 2(ab + ac + bc)$，

体对角线 $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

【圆柱体】圆柱体底面半径为 $r$，高为 $h$，

则：体积 $V = \pi r^2 h$；

侧面积 $S = 2\pi r h$；

全面积 $F = 2\pi r h + 2\pi r^2$.

【球体】

半径为 $r$ 的球体，体积 $V = \frac{4}{3}\pi r^3$，表面积 $S = 4\pi r^2$.

附录：指数函数与对数函数

一、指数函数

① 指数函数：

一般地，函数 $y = a^x$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）叫做指数函数，其中 $x$ 是自变量，函数的定义域是 $R$。

② 指数函数的图象与性质：

二、对数函数

① 对数及其运算（$y = \log_a N$，$a > 0$ 且 $a \neq 1$）

（1）对数恒等式：$y = \log_a N \Leftrightarrow N = a^y$；$N = a^{\log_a N}$，更常用 $N = e^{\ln N}$

（2）$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$

（3）$\log_a\left(\frac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N$

（4）$\log_a M^n = n\log_a M$

（5）$\log_{a^n} M = \frac{1}{n}\log_a M$

（6）$\log_a \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n}\log_a M$

（7）换底公式：$\log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a} = \frac{\lg M}{\lg a}$

（8）$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

（9）$\log_a 1 = 0$，$\log_a a = 1$

② 对数函数：

函数 $y = \log_a x$（$a > 0$，$a \neq 1$）叫做对数函数，其中 $x$ 是自变量，函数的定义域是 $(0, +\infty)$。

③ 对数函数的图象与性质：